单精度，双精度浮点存储表示 收藏

基础知识：

十进制转十六进制；

十六进制转二进制；

了解：

目前C/C++ 编译器标准都遵照IEEE 制定的浮点数表示法来进行float,double 运算。这种结构是一种科学计数法，用符号、指数和尾数来表示，底数定为2—— 即把一个浮点数表示为尾数乘以2 的指数次方再添上符号。下面是具体的规格：
             符号位     阶码      尾数     长度
float           1          8        23      32
double          1         11        52      64

 

以下通过几个例子讲解浮点数如何转换为二进制数

例一：

已知：double 类型38414.4 。

求：其对应的二进制表示。

分析：double 类型共计64 位，折合8 字节。由最高到最低位分别是第63 、62 、61 、…… 、0 位：
     最高位63 位是符号位，1 表示该数为负，0 表示该数为正；
    62-52 位，一共11 位是指数位；
    51-0 位，一共52 位是尾数位。

     步骤：按照IEEE 浮点数表示法，下面先把38414.4 转换为十六进制数。
      把整数部和小数部分开处理: 整数部直接化十六进制：960E 。小数的处理:
0.4=0.5*0+0.25*1+0.125*1+0.0625*0+……
     实际上这永远算不完！这就是著名的浮点数精度问题。所以直到加上前面的整数部分算够53 位就行了。隐藏位技术：最高位的1 不写入内存 （最终保留下来的还是52 位）。
     如果你够耐心，手工算到53 位那么因该是：38414.4(10)=1001011000001110.0110101010101010101010101010101010101(2)

科学记数法为：1.0010110000011100110101010101010101010101010101010101 ，右移了15 位，所以指数为15 。或者可以如下理解：

1.00101100000111001101010101010101010101010101010101012 ×215
     于是来看阶码，按IEEE 标准一共11 位，可以表示范围是-1024 ~ 1023 。因为指数可以为负，为了便于计算，规定都先加上1023(2^10-1) ，在这里，阶码：15+1023=1038 。二进制表示为：100 00001110 ；
     符号位：因为38414.4 为正对应  为0 ；
     合在一起（注：尾数二进制最高位的1 不要 ）：
01000000 11100010 11000001 11001101 01010101 01010101 01010101 01010101

 

例二：

已知：整数3490593(16 进制表示为0x354321 ) 。

求：其对应的浮点数3490593.0 的二进制表示。  

解法如下：

先求出整数3490593 的二进制表示：

 H:    3     5    4    3    2     1   （十六进制表示）

 B:   001 1  0101 0100 0011 0010  0001 （二进制表示）

         │←──────21 ─────→│

 

即： 

               1.1010101000011001000012 × 221

可见，从左算起第一个1 后 有21 位，我们将这21 为作为浮点数的小数表示，单精度浮点数float 由符号位1 位，指数域位k =8 位，小数域位( 尾数 )n=23 位构成，因此对上面得到的21 位小数位我们还需要补上2 个0 ，得到浮点数的小数域表示为：

         1 0101 0100 0011 0010 0001 00

 

float 类型的 偏置量 Bias=2k-1 -1=28-1 -1=127 ，但还要补上刚才因为右移作为小数部分的 21 位，因此偏置量为 127+12=148 ，就是 IEEE 浮点数表示标准：

                          V = (-1)s × M × 2E

                    E = e-Bias

中的 e ，此前计算 Bias=127 ，刚好验证了 E=148-127=21 。

 

将 148 转为二进制表示为 10010100 ，加上符号位 0 ，最后得到二进制浮点数表示 1001010010101010000110010000100 ，其 16 进制表示为：

 H:     4        A       5          5         0         C         8        4  

 B:  0 100   1010   0 101    0101   0000   1100  1000   0100

                    |←────      21        ─────→   |

     1|←─8   ─→||←─────       23       ─────→ |

 

这就是浮点数 3490593.0(0x4A550C84) 的二进制表示。

 

例三：

0.5 的二进制形式是0.1

它用浮点数的形式写出来是如下格式

 

0                01111110                 00000000000000000000000

符号位           阶码                       小数位

正数符号位为0 ，负数符号位为1

阶码是以2 为底的指数

小数位表示小数点后面的数字

下面我们来分析一下0.5 是如何写成0 01111110 0000000 00000000 00000000

首先0.5 是正数所以符号位为0

再来看阶码部分,0.5 的二进制数是0.1, 而0.1 是1.0*2^(-1) , 所以我们总结出来:

要把二进制数变成(1.f)*2^(exponent) 的形式, 其中exponent 是指数

而由于阶码有正负之分所以阶码=127+exponent;

即阶码=127+(-1)=126 即 01111110

余下的小数位为二进制小数点后面的数字, 即00000000000000000000000

由以上分析得0.5 的浮点数存储形式为0 01111110 00000000000000000000000  

注：如果只有小数部分, 那么需要右移小数点. 比如右移3 位才能放到第一个1 的后面, 阶码就是127-3=124.

例四   （20.59375 ）10 = （10100.10011 ）2

首先分别将整数和分数部分转换成二进制数：

20.59375 ＝10100.10011

然后移动小数点，使其在第1 ，2 位之间

10100.10011 ＝1.010010011×2^4   即e ＝4

于是得到：

S ＝0 ， E ＝4 ＋127 ＝131 ， M ＝010010011

最后得到32 位浮点数的二进制存储格式为：

0100 0001 1010 0100 1100 0000 0000 0000 ＝(41A4C000)16

 

 

例五：
-12.5 转为单精度二进制表示
12.5:
1. 整数部分12 ，二进制为1100; 小数部分0.5, 二进制是.1 ，先把他们连起来，从第一个1 数起取24 位（后面补0 ）：
1100.1 000 00000000 00000000
这部分是有效数字。（把小数点前后两部分连起来再取掉头前的1 ，就是尾数）
2. 把小数点移到第一个1 的后面，需要左移3 位（1.1001 000 00000000 00000000*2^3 ）, 加上偏移量127 ：127+3=130 ，二进制是10000010 ，这是阶码。
3. -12.5 是负数，所以符号位是1 。把符号位，阶码和尾数连起来。注意，尾数的第一位总是1 ，所以规定不存这一位的1 ，只取后23 位：
1 10000010 10010000000000000000000
把这32 位按8 位一节整理一下，得：
11000001 01001000 00000000 00000000
就是十六进制的 C1480000.

例六：

2.025675
1. 整数部分2 ，二进制为10; 小数部分0.025675, 二进制是.0000 01101001 00101010 01 ，先把他们连起来，从第一个1 数起取24 位（后面补0 ）：
10.0000011010010010101001
这部分是有效数字。把小数点前后两部分连起来再取掉头前的1 ，就是尾数: 00000011010010010101001
2. 把小数点移到第一个1 的后面，左移了1 位, 加上偏移量127 ：127+1=128 ，二进制是10000000 ，这是阶码。
3. 2.025675 是正数，所以符号位是0 。把符号位，阶码和尾数连起来：
0 10000000 00000011010010010101001
把这32 位按8 位一节整理一下，得：
01000000 00000001 10100100 10101001
就是十六进制的 4001A4A9. 

例七：
( 逆向求十进制整数) 一个浮点二进制数手工转换成十进制数的例子：
假设浮点二进制数是 1011 1101 0100 0000 0000 0000 0000 0000
按1 ，8 ，23 位分成三段：
1 01111010 10000000000000000000000
最后一段是尾数。前面加上"1.", 就是 1.10000000000000000000000
下面确定小数点位置。由 E = e-Bias ， 阶码E 是01111010 ，加上00000101 才是01111111 （127 ），
所以他减去127 的偏移量得e=-5 。（或者化成十进制得122 ，122-127=-5 ）。
因此尾数1.10 （后面的0 不写了）是小数点右移5 位的结果。要复原它就要左移5 位小数点，得0.0000110, 即十进制的0.046875 。
最后是符号：1 代表负数，所以最后的结果是 -0.046875 。

注意： 其他机器的浮点数表示方法可能与此不同. 不能任意移植 。