2.6.2 浮点乘法、除法运算

2.6.2 浮点乘法、除法运算

　　1.浮点乘法、除法运算规则
　　
设有两个浮点数ｘ和ｙ：

　　ｘ＝2Eｘ·Mｘ
ｙ＝2Eｙ·Mｙ

浮点乘法运算的规则是

ｘ×ｙ＝2(Eｘ＋Eｙ)·(Mｘ×Mｙ)    (2.40)

即乘积的尾数是相乘两数的尾数之积，乘积的阶码是相乘两数的阶码之和。当然，这里也有规格化与舍入等步骤。

浮点除法运算的规则是

ｘ÷ｙ＝2(Eｘ－Eｙ)·(Mｘ÷Mｙ)    (2.41)

商的尾数是相除两数的尾数之商，商的阶码是相除两数的阶码之差。也有规格化和舍入等步骤。

2.浮点乘、除法运算步骤
　　
浮点数的乘除运算大体分为四步：

第一步，0 操作数检查；第二步，阶码加/减操作；第三步，尾数乘/除操作；第四步，结果规格化及舍入处理。　

(1) 浮点数的阶码运算

对阶码的运算有＋1、－1、两阶码求和、两阶码求差四种，运算时还必须检查结果是否溢出。在计算机中，阶码通常用补码或移码形式表示。补码运算规则和判定溢出的方法，前面已经讲过。这里只对移码的运算规则和判定溢出的方法进行讲解。

移码的定义为：

　　[ｘ]移＝2n＋ｘ　　　2n＞ｘ≥－2n

按此定义，则有：

　　[ｘ]移＋[ｙ]移＝2n＋ｘ＋2n＋ｙ
             　＝2n＋(2n＋(ｘ＋ｙ))
             　　＝2n＋[ｘ＋ｙ]移
　　
即直接用移码实现求阶码之和时，结果的最高位多加了个1，要得到正确的移码形式结果，必须对结果的符号再执行一次求反。

当混合使用移码和补码时，考虑到移码和补码的关系：对同一个数值，其数值位完全相同，而符号位正好完全相反。而[ｙ]补的定义为：　

[ｙ]补＝2n＋1＋ｙ

则求阶码和用如下方式完成：

[ｘ]移＋[ｙ]补＝2n＋ｘ＋2n＋1＋ｙ
             　＝2n＋1＋(2n＋(ｘ＋ｙ))
             　＝2n＋1＋[ｘ＋ｙ]移

即

[ｘ＋ｙ]移＝[ｘ]移＋[ｙ]补　　(mod 2n＋1)    (2.42)
　　
同理

[ｘ－ｙ]移＝[ｘ]移＋[－ｙ]补                 (2.43)

上二式表明执行阶码加减时，对加数或减数 ｙ来说，应送移码符号位正常值的反码。如果阶码运算的结果溢出，上述条件则不成立。此时，使用双符号位的阶码加法器，并规定移码的第二个符号位，即最高符 号位恒用 0 参加加减运算，则溢出条件是阶码的最高符号位为1。此时，当两位符号位为 10时，表明上溢，为11时，表明下溢。当最高符号位为0时，表明没有溢出；两位符号位为01时，结果为正；为00时，结果为负。

[例26] ｘ＝＋011，ｙ＝＋110，求[ｘ＋ｙ]移 和 [ｘ－ｙ]移，并判断是否溢出。

[解:]

[ｘ]移＝01 011， [ｙ]补＝00 110， [－ｙ]补＝11 010　　

[ｘ＋ｙ]移＝[ｘ]移＋[ｙ]补＝10 001， 结果上溢。　　

[ｘ－ｙ]移＝[ｘ]移＋[－ｙ]补＝00 101， 结果正确，为－3。

(2) 尾数处理

浮点加减法对结果的规格化及舍入处理也适用于浮点乘除法。

第一种简单方法是，无条件地丢掉正常尾数最低位之后的全部数值。这种办法被称为截断处理，好处是处理简单，缺点是影响结果的精度。

第二种简单办法是，运算过程中保留右移中移出的若干高位的值，最后再按某种规则用这些位上的值修正尾数。这种处理方法被称为舍入处理。

当尾数用原码表示时，舍入规则比较简单。最简便的方法，是只要尾数的最低位为1，或移出的几位中有为1的数值位，就是最低位的值为1。另一种是0舍1入 法，即当丢失的最高位的值为1时，把这个1加到最低数值位上进行修正，否则舍去丢失的的各位的值。这样处理时，舍入效果对正数负数相同，入将使数的绝对值 变大，舍则使数的绝对值变小。

当尾数是用补码表示时，所用的舍入规则，应该与用原码表示时产生相同的处理效果。

具体规则是：

当丢失的各位均为0时，不必舍入操作；

当丢失的最高位为0时，以下各位不全为0时，或者丢失的最高位为1，以下各位均为0时，则舍去丢失位上的值；

当丢失的最高位为1，以下各位不全为0时，则执行在尾数最低位入1的修正操作。

[例27] 设[ｘ1]补＝11.01100000，[ｘ2]补＝11.01100001，[ｘ3]补＝11.01101000，[ｘ4]补＝11.01111001，求执行只保留小数点后4位有效数字的舍入操作值。

[解:]

执行舍入操作后，其结果值分别为

[ｘ1]补＝11.0110　(不舍不入)

[ｘ2]补＝11.0110　(舍)

[ｘ3]补＝11.0110　(舍)

[ｘ4]补＝11.1000　(入)

[例28] 设有浮点数ｘ＝2－5×0.0110011，ｙ＝23×(－0.1110010)，阶码用4位移码表示，尾数(含符号位)用8位补码表示。求[ｘ×ｙ]浮。要求用补码完成尾数乘法运算，运算结果尾数保留高8位(含符号位)，并用尾数低位字长值处理舍入操作。

[解:]

移码采用双符号位，尾数补码采用单符号位，则有　　

　[Mｘ]补＝0.0110011， [Mｙ]补＝1.0001110，　　

[Eｙ]移＝01 011， [Eｙ]补＝00 011， [Eｘ]移＝00 011，　　

[ｘ]浮＝00 011， 0.0110011， [ｙ]浮＝01 011， 1.0001110

(1) 求阶码和　

[Eｘ＋Eｙ]移＝[Eｘ]移＋[Eｙ]补＝00 011＋00 011＝00 110，值为移码形式－2。

(2) 尾数乘法运算可采用补码阵列乘法器实现，即有

[Mｘ]补×[Mｙ]补＝[0.0110011]补×[1.0001110]补
               　　＝[1.1010010，1001010]补

(3) 规格化处理　　

乘积的尾数符号位与最高数值位符号相同，不是规格化的数，需要左规，阶码变为00 101(-3)，尾数变为 1.0100101，0010100。

(4) 舍入处理

　　尾数为负数，取尾数高位字长，按舍入规则，舍去低位字长，故尾数为1.0100101 。

最终相乘结果为：

　　[ｘ×ｙ]浮＝00 101，1.0100101

其真值为：

　　ｘ×ｙ＝2－3×(－0.1011011)