2.2.3 溢出概念与检测方法

2.2.3 溢出概念与检测方法

在定点小数机器中，数的表示范围为|ｘ|<1. 在运算过程中如出现大于1的现象，称为“溢出”。在定点机中，正常情况下溢出是不允许的。

　　[例12] ｘ＝＋0.1011， ｙ＝＋0.1001，求ｘ＋ｙ。

[解:]

[ｘ]补＝0.1011 [ｙ]补＝0.1001

[ｘ]补　　　  0.1011

＋[ｙ]补　 　 0.1001
--------------------
[ｘ＋ｙ]补　　1.0100

两个正数相加的结果成为负数，这显然是错误的。

[例13] ｘ＝－0.1101， ｙ＝－0.1011，求ｘ＋ｙ。

[解:]

[ｘ]补＝1.0011 [ｙ]补＝1.0101

[ｘ]补　　　  1.0011

＋[ｙ]补   　 1.0101
--------------------
[ｘ＋ｙ]补　  0.1000

两个负数相加的结果成为正数，这同样是错误的。

之所以发生错误，是因为运算结果产生了溢出。两个正数相加，结果大于机器所能表示的最大正数，称为上溢。而两个负数相加，结果小于机器所能表示的最小负数，称为下溢。

为了判断“溢出”是否发生，可采用两种检测的方法。第一种方法是采用双符号位法，这称为“变形补码”或“模4补码”，从而可使模2补码所能表示的数的范围扩大一倍。变形补码定义为

                          (2.22)
　　
或用同余式表示为

[ｘ]补＝4＋ｘ　　　(mod 4)

下式也同样成立：

[ｘ]补＋[ｙ]补＝[ｘ＋ｙ]补    (mod 4)

为了得到两数变形补码之和等于两数之和的变形补码，同样必须：

1. 两个符号位都看作数码一样参加运算

2. 两数进行以4位模的加法，即最高符号位上产生的进位要丢掉。

采用变形补码后，如果两个数相加后，其结果的符号位出现“01”或“10”两种组合时，表示发生溢出。这是因为两个绝对值小于1的数相加，其结果不会大于或等于2，所以最高符号位永远表示结果的正确符号。

[例14] ｘ＝＋0.1100， ｙ＝＋0.1000，求ｘ＋ｙ。

[解:]

[ｘ]补＝00.1100，　[ｙ]补＝00.1000

[ｘ]补　　　00.1100

＋[ｙ]补　　00.1000
-------------------
                01.0100

两个符号位出现“01”，表示已溢出，即结果大于＋1。

[例15] ｘ＝－0.1100， ｙ＝-0.1000，求ｘ＋ｙ。

[解:]

[ｘ]补＝11.0100，　[ｙ]补＝11.1000

[ｘ]补　　　11.0100

＋[ｙ]补　　11.1000
-------------------
            10.1100

两个符号位出现“10”，表示已溢出，即结果小于－1。

由此可以得出如下结论：

1. 当以模4补码运算，运算结果的二符号位相异时，表示溢出；相同时，表示未溢出。故溢出逻辑表达式为V＝Sf1⊕Sf2，其中Sf1和Sf2分别为最高符号位和第二符号位。此逻辑表达式可用异或门实现。

2. 模4补码相加的结果，不论溢出与否，最高符号位始终指示正确的符号。

第二种溢出检测方法是采用单符号位法。从例1和例2中看到，当最高有效位产生进位而符号位无进位时，产生上溢；当最高有效位无进位而符号位有进位时，产生下溢。故溢出逻辑表达式为V＝Cf⊕Co，其中Cf为符号位产生的进位，Co为最高有效位产生的进位。此逻辑表达式也可用异或门实现。

在定点机中当运算结果发生溢出时，机器通过逻辑电路自动检查出溢出，并进行中断处理。