全排列生成算法：next_permutation

时间：2010-08-17 来源：Devymex

概念

全排列的生成算法有很多种，有递归遍例，也有循环移位法等等。但C++/STL中定义的next_permutation和prev_permutation函数则是非常灵活且高效的一种方法，它被广泛的应用于为指定序列生成不同的排列。本文将详细的介绍prev_permutation函数的内部算法。

按照STL文档的描述，next_permutation函数将按字母表顺序生成给定序列的下一个较大的排列，直到整个序列为降序为止。prev_permutation函数与之相反，是生成给定序列的上一个较小的排列。二者原理相同，仅遍例顺序相反，这里仅以next_permutation为例介绍算法。

先对序列大小的比较做出定义：两个长度相同的序列，从两者的第一个元素开始向后寻找，直到出现一个不同元素（也可能就是第它们的第一个元素），该元素较大的序列为大，反之序列为小；若一直到最后一个元素都相同，那么两个序列相等。

设当前序列为pn，下一个较大的序列为pn+1，这里蕴藏的含义是再也找不到另外的序列pm，使得pn < pm < pn+1。

问题

给定任意非空序列，生成下一个较大或较小的排列。

过程

根据上述概念易知，对于一个任意序列，最小的排列是增序，最大的为减序。那么给定一个pn要如何才能生成pn+1呢？先来看下面的例子：

设3 6 4 2为pn，下一个序列pn+1应该是4 2 3 6。观察第一个序列可以发现pn中的6 4 2已经为减序，在这个子集中再也无法排出更大的序列了，因此必须移动3的位置且要找一个数来取代3的位置。在6 4 2中6和4都比3大，但6比3大的太多了，只能选4。将4和3的位置对调后形成排列4 6 3 2。注意，由于4和3大小的相邻关系，对调后产生的子集6 3 2仍保持逆序，即该子集最大的一种排列。而4是第一次移动到头一位的，需要后面的子集为最小的排列，因此直接将6 3 2倒转为2 3 6便得到了正确的一个序列pn+1。

下面归纳分析该过程。假设一个有m个元素的序列pn，其下一组较大排列为pn+1：

若pn的最后的2个元素构成一个最小的增序子集，那么直接反转这2个元素使该子集成为减序即可得到pn+1。理由是pn和pn+1的前面m-2个元素都相等（没有对前面的元素进行操作），仅能靠最后2个元素来分出大小。而这2个元素只能出现2种排列，其中较大的一种是减序。

若pn的最后最多有s个元素构成一个减序子集，令i = m - s，则有pn(i) < pn(i+1)，因此若将pn(i)和pn(i+1)调换必能得到一个较大的排列（不一定是下一个），因此必须保持pn(i)之前的元素不动，并在子集{pn(i+1), pn(i+2), ..., pn(m)}中找到一个仅比pn(i)大的元素pn(j)，将二者调换位置。此时只要得到新子集{pn(i+1), pn(i+2), ..., pn(i), ...,pn(m)}的最小排列即可。注意到新子集仍保持减序，那么直接将其反转即可得到最小的增序子集。

按以上步骤便可从pn得到pn+1了。

复杂度

最好的情况为pn的最后的2个元素构成一个最小的增序子集，交换次数为1，复杂度为O(1)，最差的情况为1个元素最小，而后面的所有元素构成减序子集，这样需要先将第1个元素换到最后，然后反转后面的所有元素。交换次数为1+(n-1)/2，复杂度为O(n)。这样平均复杂度即为O(n/2)。

C++/STL实现

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
//主函数，算法详见相关说明
int main(void) {
        //循环处理输入的每一个字符串
        for (string str; cin >> str;) {
                if (str.empty()) {
                        continue;
                }
                //如果字符串只有1个字符，则直接输出结束
                if (str.length() <= 1) {
                        cout << "No more Permutation" << endl;
                }
                //iPivot为右边最大减序子集左边相邻的一个元素
                string::iterator iPivot = str.end(), iNewHead;
                //查找右边最大的减序子集
                for (--iPivot; iPivot != str.begin(); --iPivot) {
                        if (*(iPivot - 1) < *iPivot ) {
                                break;
                        }
                }
                //如果整个序列都为减序，则重排结束。
                if (iPivot == str.begin()) {
                        cout << "No more Permutation" << endl;
                }
                //iPivot指向子集左边相邻的一个元素
                iPivot--;
                //iNewHead为仅比iPivot大的元素，在右侧减序子集中寻找
                for (iNewHead = iPivot + 1; iNewHead != str.end(); ++iNewHead) {
                        if (*iNewHead < *iPivot) {
                                break;
                        }
                }
                //交换iPivot和iNewHead的值，但不改变它们的指向
                iter_swap(iPivot, --iNewHead);
                //反转右侧减序子集，使之成为最小的增序子集
                reverse(iPivot + 1, str.end());
                //本轮重排完成，输出结果
                cout << str << endl;
        }
        return 0;
}