不同的角度，不同的玩法——用Python实现Fibonacci函数
时间：2010-08-30 来源：C Ser
关于Fibonacci函数的100种写法 最近在玩Python，在粗略的看了一下LearningPython和CorePython之后，发现网上有个帖子<Python程序员的进化>写的很有意思。于是打算仿照一篇，那篇帖子用了十余种方法完成一个阶乘函数，我在这里会用九种不同的风格写出一个Fibonacci函数。 要求很简单，输入n，输出第n个Fibonacci数，n为正整数 下面是这九种不同的风格： 第一次写程序的Python程序员： 01 def fib(n): 02 return nth fibonacci number 说明： 第一次写程序的人往往遵循人类语言的语法而不是编程语言的语法，就拿我一个编程很猛的哥们来说，他写的第一个判断闰年的程序，里面直接是这么写的：如果year是闰年，输出闰年，否这不是闰年。 刚学Python不久的的C程序员： 01 def fib(n):#{ 02 if n<=2 : 03 return 1; 04 else: 05 return fib(n-1)+fib(n-2); 06 #} 说明： 在刚接触Python时，用缩进而非大括号的方式来划分程序块这种方式我是很不适应的，而且每个语句后面没有结束符，所以每次写完一个Python函数之后干的第一件事一般就是一边注释大括号，一边添加漏掉的冒号。 懒散的Python程序员： 01 def fib(n): 02 return 1 and n<=2 or fib(n-1)+fib(n-2) 说明： 看了LearningPython之后，才知道Python没有三元操作符？，不过鉴于Python里bool值比较特殊（有点像C，非零即真，非空即真），再加上Python的逻辑语句也是支持短路求值的，这就可以写出一个仿？语句出来。 更懒的Python程序员： 01 fib=lambda n:1 if n<=2 else fib(n-1)+fib(n-2) 说明： lambda关键字我曾在C#和Scheme里面用过，Python里面的lambda比C#里简便，并很像Scheme里的用法，所以很快就适应了。在用Python Shell声明一些小函数时经常用这种写法。 刚学完数据结构的Python程序员： 01 def fib(n): 02 x,y=0,1 03 while(n): 04 x,y,n=y,x+y,n-1 05 return x 说明： 前面的Fibonacci函数都是树形递归的实现，哪怕是学一点算法就应该知道这种递归的低效了。在这里从树形递归改为对应的迭代可以把效率提升不少。 Python的元组赋值特性是我很喜欢的一个东东，这玩意可以把代码简化不少。举个例子，以前的tmp=a;a=b;b=tmp;可以直接用一句a,b=b,a实现，既简洁又明了。 正在修SICP课程的Python程序员： 01 def fib(n): 02 def fib_iter(n,x,y): 03 if n==0 : return x 04 else : return fib_iter(n-1,y,x+y) 05 06 return fib_iter(n,0,1) 说明： 在这里我使用了Scheme语言中很常见的尾递归写法。Scheme里面没有迭代，但可以用不变量和尾递归来模拟迭代，从而实现相同的效果。不过我还不清楚Python有没有对尾递归做相应的优化，回头查一查。 PS：看过SICP的同学，一眼就能看出，这个程序其实就是SICP第一章里的一个例子。 好耍小聪明的Python程序员： 01 fib=lambda n,x=0,y=1:x if not n else f(n-1,y,x+y) 说明： 基本的逻辑和上面的例子一样，都是尾递归写法。主要的区别就是利用了Python提供的默认参数和三元操作符，从而把代码简化至一行。至于默认参数，学过C++的同学都知道这玩意，至于C#4.0也引入了这东东。 刚修完线性代数的Python程序员： 01 def fib(n): 02 def m1(a,b): 03 m=[[],[]] 04 m[0].append(a[0][0]*b[0][0]+a[0][1]*b[1][0]) 05 m[0].append(a[0][0]*b[0][1]+a[0][1]*b[1][1]) 06 m[1].append(a[1][0]*b[0][0]+a[1][1]*b[1][0]) 07 m[1].append(a[1][0]*b[1][0]+a[1][1]*b[1][1]) 08 return m 09 def m2(a,b): 10 m=[] 11 m.append(a[0][0]*b[0][0]+a[0][1]*b[1][0]) 12 m.append(a[1][0]*b[0][0]+a[1][1]*b[1][0]) 13 return m 14 return m2(reduce(m1,[[[0,1],[1,1]] for i in range(n)]),[[0],[1]])[0] 说明： 这段代码就不像之前的代码那样清晰了，所以先介绍下原理（需要一点线性代数知识）： 首先看一下之前的迭代版本的Fibonacci函数，很容易可以发现存在一个变换：y->x, x+y->y。换一个角度，就是[x,y]->[y,x+y]。 在这里，我声明一个二元向量[x,y]T，它通过一个变换得到[y,x+y]T，可以很容易得到变换矩阵是[[1,0],[1,1]]，也就是说：[[1,0],[1,1]]*[x,y]T=[y,x+y]T 令二元矩阵A=[[1,0],[1,1]]，二元向量x=[0,1]T，容易知道Ax的结果就是下一个Fibonacci数值，即： Ax=[fib(1),fib(2)]T 亦有： Ax=[fib(2),fib(3)]T ……………… 以此类推，可以得到： Aⁿx=[fib(n),fib(n-1)]T 也就是说可以通过对二元向量[0,1]T进行n次A变换，从而得到[fib(n),fib(n+1)]T，从而得到fib(n)。 在这里我定义了一个二元矩阵的相乘函数m1，以及一个在二元向量上的变换m2，然后利用reduce操作完成一个连乘操作得到Aⁿx，最后得到fib(n)。 准备参加ACM比赛的Python程序员： 01 def fib(n): 02 lhm=[[0,1],[1,1]] 03 rhm=[[0],[1]] 04 em=[[1,0],[0,1]] 05 #multiply two matrixes 06 def matrix_mul(lhm,rhm): 07 #initialize an empty matrix filled with zero 08 result=[[0 for i in range(len(rhm[0]))] for j in range(len(rhm))] 09 #multiply loop 10 for i in range(len(lhm)): 11 for j in range(len(rhm[0])): 12 for k in range(len(rhm)): 13 result[i][j]+=lhm[i][k]*rhm[k][j] 14 return result 15 16 def matrix_square(mat): 17 return matrix_mul(mat,mat) 18 #quick transform 19 def fib_iter(mat,n): 20 if not n: 21 return em 22 elif(n%2): 23 return matrix_mul(mat,fib_iter(mat,n-1)) 24 else: 25 return matrix_square(fib_iter(mat,n/2)) 26 return matrix_mul(fib_iter(lhm,n),rhm)[0][0] 说明： 看过上一个fib函数就比较容易理解这一个版本了，这个版本同样采用了二元变换的方式求fib(n)。不过区别在于这个版本的复杂度是lgn，而上一个版本则是线性的。 这个版本的不同之处在于，它定义了一个矩阵的快速求幂操作fib_iter，原理很简单，可以类比自然数的快速求幂方法，所以这里就不多说了。 PS：虽然说是ACM版本，不过其实我从来没参加过那玩意，毕竟自己算法太水了，那玩意又太高端……只能在这里YY一下鸟~ 后记： 由于刚学习Python没多久，所以对其各种特性的掌握还不够熟练。与其说是我在用Python写程序，倒不如说我是在用C，C++，C#或是Scheme来写程序。至于传说中的Pythonic way，我现在还没有什么体会，毕竟还没用Python写过什么真正的程序。 非常喜欢Python的理念，在这里贴出来： Beautiful is better than ugly. Explicit is better than implicit. Simple is better than complex. Complex is better than complicated. Flat is better than nested. Sparse is better than dense. Readability counts. Special cases aren't special enough to break the rules. Although practicality beats purity. Errors should never pass silently. Unless explicitly silenced. In the face of ambiguity, refuse the temptation to guess. There should be one-- and preferably only one --obvious way to do it. Although that way may not be obvious at first unless you're Dutch. Now is better than never. Although never is often better than *right* now. If the implementation is hard to explain, it's a bad idea. If the implementation is easy to explain, it may be a good idea. Namespaces are one honking great idea -- let's do more of those!
不同的角度，不同的玩法——在Python上实现Fibonacci函数
最近在玩Python，在粗略的看了一下Learning Python和Core Python之后，偶然发现网上有个帖子Python程序员的进化写的很有意思。于是打算仿照一篇，那篇帖子用了十余种方法完成一个阶乘函数，我在这里会用九种不同的风格写出一个Fibonacci函数。
要求很简单，输入n，输出第n个Fibonacci数，n为正整数
下面是这九种不同的风格：
1）第一次写程序的Python程序员：
01 def fib(n):
02 return nth fibonacci number
说明：
第一次写程序的人往往遵循人类语言的语法而不是编程语言的语法，就拿我一个编程很猛的哥们来说，他写的第一个判断闰年的程序，里面直接是这么写的：如果year是闰年，输出year是闰年，否则year不是闰年。
2）刚学Python不久的的C程序员：
01 def fib(n):#{
02 if n<=2 :
03 return 1;
04 else:
05 return fib(n-1)+fib(n-2);
06 #}
说明：
在刚接触Python时，用缩进而非大括号的方式来划分程序块这种方式我是很不适应的，而且每个语句后面没有结束符，所以每次写完一个Python函数之后干的第一件事一般就是一边注释大括号，一边添加漏掉的冒号。
3）懒散的Python程序员：
01 def fib(n):
02 return 1 and n<=2 or fib(n-1)+fib(n-2)
说明：
看了Learning Python之后，才知道Python没有三元操作符？，不过鉴于Python里bool值比较特殊（有点像C，非零即真，非空即真），再加上Python的逻辑语句也是支持短路求值（Short-Circuit Evaluation）的，这就可以写出一个仿？语句出来。
4）更懒的Python程序员：
01 fib=lambda n:1 if n<=2 else fib(n-1)+fib(n-2)
说明：
lambda关键字我曾在C#和Scheme里面用过，Python里面的lambda比C#里简便，并很像Scheme里的用法，所以很快就适应了。在用Python Shell声明一些小函数时经常用这种写法。
5）刚学完数据结构的Python程序员：
01 def fib(n):
02 x,y=0,1
03 while(n):
04 x,y,n=y,x+y,n-1
05 return x
说明：
前面的Fibonacci函数都是树形递归的实现，哪怕是学一点算法就应该知道这种递归的低效了。在这里从树形递归改为对应的迭代可以把效率提升不少。
Python的元组赋值特性是我很喜欢的一个东东，这玩意可以把代码简化不少。举个例子，以前的tmp=a;a=b;b=tmp;可以直接用一句a,b=b,a实现，既简洁又明了。
6）正在修SICP课程的Python程序员：
01 def fib(n):
02 def fib_iter(n,x,y):
03 if n==0 : return x
04 else : return fib_iter(n-1,y,x+y)
05
06 return fib_iter(n,0,1)
说明：
在这里我使用了Scheme语言中很常见的尾递归（Tail-recursion）写法。Scheme里面没有迭代，但可以用不变量和尾递归来模拟迭代，从而实现相同的效果。不过我还不清楚Python有没有对尾递归做相应的优化，回头查一查。
PS：看过SICP的同学，一眼就能看出，这个程序其实就是SICP第一章里的一个例子。
7）好耍小聪明的Python程序员：
01 fib=lambda n,x=0,y=1:x if not n else f(n-1,y,x+y)
说明：
基本的逻辑和上面的例子一样，都是尾递归写法。主要的区别就是利用了Python提供的默认参数和三元操作符，从而把代码简化至一行。至于默认参数，学过C++的同学都知道这玩意，至于C#4.0也引入了这东东。
8）刚修完线性代数的Python程序员：
01 def fib(n):
02 def m1(a,b):
03 m=[[],[]]
04 m[0].append(a[0][0]*b[0][0]+a[0][1]*b[1][0])
05 m[0].append(a[0][0]*b[0][1]+a[0][1]*b[1][1])
06 m[1].append(a[1][0]*b[0][0]+a[1][1]*b[1][0])
07 m[1].append(a[1][0]*b[1][0]+a[1][1]*b[1][1])
08 return m
09 def m2(a,b):
10 m=[]
11 m.append(a[0][0]*b[0][0]+a[0][1]*b[1][0])
12 m.append(a[1][0]*b[0][0]+a[1][1]*b[1][0])
13 return m
14 return m2(reduce(m1,[[[0,1],[1,1]] for i in range(n)]),[[0],[1]])[0]
说明：
这段代码就不像之前的代码那样清晰了，所以先介绍下原理（需要一点线性代数知识）：
首先看一下之前的迭代版本的Fibonacci函数，很容易可以发现存在一个变换：y->x, x+y->y。换一个角度，就是[x,y]->[y,x+y]。
在这里，我声明一个二元向量[x,y]T，它通过一个变换得到[y,x+y]T，可以很容易得到变换矩阵是[[1,0],[1,1]]，也就是说：[[1,0],[1,1]]*[x,y]T=[y,x+y]T
令二元矩阵A=[[1,0],[1,1]]，二元向量x=[0,1]T，容易知道Ax的结果就是下一个Fibonacci数值，即：
Ax=[fib(1),fib(2)]T
亦有：
Ax=[fib(2),fib(3)]T
………………
以此类推，可以得到：
Aⁿx=[fib(n),fib(n-1)]T
也就是说可以通过对二元向量[0,1]T进行n次A变换，从而得到[fib(n),fib(n+1)]T，从而得到fib(n)。
在这里我定义了一个二元矩阵的相乘函数m1，以及一个在二元向量上的变换m2，然后利用reduce操作完成一个连乘操作得到Aⁿx，最后得到fib(n)。
9）准备参加ACM比赛的Python程序员：
01 def fib(n):
02 lhm=[[0,1],[1,1]]
03 rhm=[[0],[1]]
04 em=[[1,0],[0,1]]
05 #multiply two matrixes
06 def matrix_mul(lhm,rhm):
07 #initialize an empty matrix filled with zero
08 result=[[0 for i in range(len(rhm[0]))] for j in range(len(rhm))]
09 #multiply loop
10 for i in range(len(lhm)):
11 for j in range(len(rhm[0])):
12 for k in range(len(rhm)):
13 result[i][j]+=lhm[i][k]*rhm[k][j]
14 return result
15
16 def matrix_square(mat):
17 return matrix_mul(mat,mat)
18 #quick transform
19 def fib_iter(mat,n):
20 if not n:
21 return em
22 elif(n%2):
23 return matrix_mul(mat,fib_iter(mat,n-1))
24 else:
25 return matrix_square(fib_iter(mat,n/2))
26 return matrix_mul(fib_iter(lhm,n),rhm)[0][0]
说明：
看过上一个fib函数就比较容易理解这一个版本了，这个版本同样采用了二元变换的方式求fib(n)。不过区别在于这个版本的复杂度是lgn，而上一个版本则是线性的。
这个版本的不同之处在于，它定义了一个矩阵的快速求幂操作fib_iter，原理很简单，可以类比自然数的快速求幂方法，所以这里就不多说了。
PS：虽然说是ACM版本，不过说实话我从来没参加过那玩意，毕竟自己算法太水了，那玩意又太高端……只能在这里YY一下鸟~
后记：
由于刚学习Python没多久，所以对其各种特性的掌握还不够熟练。与其说是我在用Python写程序，倒不如说我是在用C，C++，C#或是Scheme来写程序。至于传说中的Pythonic way，我现在还没有什么体会，毕竟还没用Python写过什么真正的程序。
Learning Python和Core Python都是不错的Python入门书籍，前者更适合没有编程基础的人阅读。
Python是最好的初学编程入门语言，没有之一。所以它可以取代Scheme成为MIT的计算机编程入门语言。
非常喜欢Python的理念（Zen of python），在这里贴出来（import this）：
Beautiful is better than ugly.
Explicit is better than implicit.
Simple is better than complex.
Complex is better than complicated.
Flat is better than nested.
Sparse is better than dense.
Readability counts.
Special cases aren't special enough to break the rules.
Although practicality beats purity.
Errors should never pass silently.
Unless explicitly silenced.
In the face of ambiguity, refuse the temptation to guess.
There should be one-- and preferably only one --obvious way to do it.
Although that way may not be obvious at first unless you're Dutch.
Now is better than never.
Although never is often better than *right* now.
If the implementation is hard to explain, it's a bad idea.
If the implementation is easy to explain, it may be a good idea.
Namespaces are one honking great idea -- let's do more of those!
figure9原创，2010-8-30 19:25:21，转帖请注明，错误请指正，Thanks~
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