浮点数的二进制表示学习笔记

因为要参加软考了（当然也只有考试有这种魅力），我得了概浮点数转化为二进制表示这个最难的知识点（个人认为最难）。俺结合大量的从网上收集而来的资料现整理如下，希望对此知识点感兴趣的pfan有所帮助。

 

基础知识：

十进制转十六进制；

十六进制转二进制；

IEEE制定的浮点数表示规则；

了解：

目前C/C++编译器标准都遵照IEEE制定的浮点数表示法来进行float,double运算。这种结构是一种科学计数法，用符号、指数和尾数来表示，底数定为2——即把一个浮点数表示为尾数乘以2的指数次方再添上符号。下面是具体的规格：
             符号位     阶码      尾数     长度
float           1          8        23      32
double          1         11        52      64

 

以下通过几个例子讲解浮点数如何转换为二进制数

例一：

已知：double类型38414.4。

求：其对应的二进制表示。

分析：double类型共计64位，折合8字节。由最高到最低位分别是第63、62、61、……、0位：
    最高位63位是符号位，1表示该数为负，0表示该数为正；
    62-52位，一共11位是指数位；
    51-0位，一共52位是尾数位。

     步骤：按照IEEE浮点数表示法，下面先把38414.4转换为十六进制数。
     把整数部和小数部分开处理:整数部直接化十六进制：960E。小数的处理:
0.4=0.5*0+0.25*1+0.125*1+0.0625*0+……
     实际上这永远算不完！这就是著名的浮点数精度问题。所以直到加上前面的整数部分算够53位就行了。隐藏位技术：最高位的1不写入内存（最终保留下来的还是52位）。
    如果你够耐心，手工算到53位那么因该是：38414.4(10)=1001011000001110.0110011001100110011001100110011001100(2)

科学记数法为：1.001011000001110 0110011001100110011001100110011001100，右移了15位，所以指数为15。或者可以如下理解：

1.001011000001110 0110011001100110011001100110011001100×2^15
     于是来看阶码，按IEEE标准一共11位，可以表示范围是-1024 ~ 1023。因为指数可以为负，为了便于计算，规定都先加上1023(2^10-1)，在这里，阶码：15+1023=1038。二进制表示为：100 00001110；
    符号位：因为38414.4为正对应 为0；
    合在一起（注：尾数二进制最高位的1不要）：
01000000 11100010 11000001 110 01100  11001100  11001100  11001100  11001100

 

例二：

已知：整数3490593(16进制表示为0x354321)。

求：其对应的浮点数3490593.0的二进制表示。 

解法如下：

先求出整数3490593的二进制表示：

 H:    3     5    4    3    2     1   （十六进制表示）

 B:   0011  0101 0100 0011 0010  0001 （二进制表示）

        │←──────21─────→│

 

即： 

               1.1010101000011001000012×221

可见，从左算起第一个1后有21位，我们将这21为作为浮点数的小数表示，单精度浮点数float由符号位1位，指数域位k=8位，小数域位(尾数)n=23位构成，因此对上面得到的21位小数位我们还需要补上2个0，得到浮点数的小数域表示为：

         1 0101 0100 0011 0010 0001 00

 

float类型的偏置量Bias=2k-1-1=28-1-1=127，但还要补上刚才因为右移作为小数部分的21位，因此偏置量为127+21=148，就是IEEE浮点数表示标准：

                          V = (-1)s×M×2E

                    E = e-Bias

中的e，此前计算Bias=127，刚好验证了E=148-127=21。

 

将148转为二进制表示为10010100，加上符号位0，最后得到二进制浮点数表示1001010010101010000110010000100，其16进制表示为：

 H:     4        A       5          5         0         C         8        4  

 B:  0100   1010   0101    0101   0000   1100  1000   0100

                    |←────      21        ─────→   |

     1|←─8   ─→||←─────       23       ─────→ |

 

这就是浮点数3490593.0(0x4A550C84)的二进制表示。

 

例三：

0.5的二进制形式是0.1

它用浮点数的形式写出来是如下格式

 

0                01111110                 00000000000000000000000

符号位           阶码                       小数位

正数符号位为0，负数符号位为1

阶码是以2为底的指数

小数位表示小数点后面的数字

下面我们来分析一下0.5是如何写成0 01111110 00000000000000000000000

首先0.5是正数所以符号位为0

再来看阶码部分,0.5的二进制数是0.1,而0.1是1.0*2^(-1),所以我们总结出来:

要把二进制数变成(1.f)*2^(exponent)的形式,其中exponent是指数

而由于阶码有正负之分所以阶码=127+exponent;

即阶码=127+(-1)=126 即 01111110

余下的小数位为二进制小数点后面的数字,即00000000000000000000000

由以上分析得0.5的浮点数存储形式为0 01111110 00000000000000000000000  

注：如果只有小数部分,那么需要右移小数点. 比如右移3位才能放到第一个1的后面, 阶码就是127-3=124.

例四   （20.59375）10 =（10100.10011 ）2

首先分别将整数和分数部分转换成二进制数： 

20.59375＝10100.10011 

然后移动小数点，使其在第1，2位之间 

10100.10011＝1.010010011×2^4   即e＝4 

于是得到： 

S＝0， E＝4＋127＝131， M＝010010011 

最后得到32位浮点数的二进制存储格式为： 

0100 1001 1010 0100 1100 0000 0000 0000＝(41A4C000)16

 

 

例五：
-12.5转为单精度二进制表示
12.5: 
1. 整数部分12，二进制为1100; 小数部分0.5, 二进制是.1，先把他们连起来，从第一个1数起取24位（后面补0）： 
1100.10000000000000000000 
这部分是有效数字。（把小数点前后两部分连起来再取掉头前的1，就是尾数） 
2. 把小数点移到第一个1的后面，需要左移3位（1.10010000000000000000000*2^3）, 加上偏移量127：127+3=130，二进制是10000010，这是阶码。 
3. -12.5是负数，所以符号位是1。把符号位，阶码和尾数连起来。注意，尾数的第一位总是1，所以规定不存这一位的1，只取后23位： 
1 10000010 10010000000000000000000 
把这32位按8位一节整理一下，得： 
11000001 01001000 00000000 00000000 
就是十六进制的 C1480000. 

例六：

2.025675 
1. 整数部分2，二进制为10; 小数部分0.025675, 二进制是.0000011010010010101001，先把他们连起来，从第一个1数起取24位（后面补0）： 
10.0000011010010010101001 
这部分是有效数字。把小数点前后两部分连起来再取掉头前的1，就是尾数: 00000011010010010101001 
2. 把小数点移到第一个1的后面，左移了1位, 加上偏移量127：127+1=128，二进制是10000000，这是阶码。 
3. 2.025675是正数，所以符号位是0。把符号位，阶码和尾数连起来： 
0 10000000 00000011010010010101001 
把这32位按8位一节整理一下，得： 
01000000 00000001 10100100 10101001 
就是十六进制的 4001A4A9.  

例七：
(逆向求十进制整数)一个浮点二进制数手工转换成十进制数的例子： 
假设浮点二进制数是 1011 1101 0100 0000 0000 0000 0000 0000 
按1，8，23位分成三段： 
1 01111010 10000000000000000000000 
最后一段是尾数。前面加上"1.", 就是 1.10000000000000000000000 
下面确定小数点位置。由E = e-Bias，阶码E是01111010，加上00000101才是01111111（127）， 
所以他减去127的偏移量得e=-5。（或者化成十进制得122，122-127=-5）。 
因此尾数1.10（后面的0不写了）是小数点右移5位的结果。要复原它就要左移5位小数点，得0.0000110,即十进制的0.046875 。
最后是符号：1代表负数，所以最后的结果是 -0.046875 。

注意：其他机器的浮点数表示方法可能与此不同. 不能任意移植。