6.2.2 二叉树的性质(10)clear(BT)

6.2  二叉树
6.2.2  二叉树的性质(10)clear(BT)
性质１：在二叉树的第i层上至多有个2i-1 结点(i>=1)。

例：

性质２：深度为k的二叉树至多有 2k-1 个结点(k>=1)。
                      20+21+22+……2k-1=2k-1
性质３：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0,度为2的结点数为n2, 则n0=n2+1。

证明： 设n1为二叉树T中度为1的结点数；
      ∵二叉树中所有结点的度均小于或等于2
         ∴其结点总数为： n=n0+n1+n2
            ∵二叉树中除了根结点外，其余结点都有一个分支进入
    设分支总数为B；  则 n=B+1;
            ∵ 二叉树的分支是由度为1或2的结点射出的
    ∴ B=n1+2*n2
          ∴n=n1+2*n2+1=n0+n1+n2 
        n0=n2+1

满二叉树——一棵深度为k且有2k-1  个结点的二叉树。

例：

特点：每一层上的结点数都是最大结点数。

完全二叉树——按图示给每个结点编号，如果有深度为k的，有n个结点的二叉树， 当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称之为。

特点：
（1）叶子结点只可能在层次最大的两层上出现；
（2）对任一结点，若其右分支下的子孙的最大层次为l,则其左分支下的子孙的最大层必为l或l+1。
性质４：具有n个结点的完全二叉树的深度为 ⊥log2n⊥+1
证明：
  假设树深度为K
  ∵性质2 和完全二叉树的定义有
           2k-1<=n<2k       2k-1-1<=n<2k -1  
  ∴ k-1<=log2n<k
  ∵  K是整数
  ∴ k= ⊥log2n ⊥+1
  性质５：如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，则对任一结点i(1=<i=<n)有：
  (1)如果i=1,则结点i是二叉树的根,无双亲;如果i>1,则双亲Parent(i)是结点 ⊥i/2 ⊥。

  (2)如果2i>n,则结点i无左孩子(结点i为叶子结点);否则其左孩子Lchild(i) 是结点2i。

  (3)如果2i+1>n,则结点i无右孩子;否则其右孩子Rchild(i)是结点2i+1。

例：

i=1  是树的根,无双亲;其左孩子为2*i=2,右孩子为2*i+1=3 .
i=6  其双亲为 ⊥i/2 ⊥= 3；其左孩子为2*i=12;
∵2*i+1=13>12     ∴其无右孩子。
i=9  其双亲为 ⊥i/2 ⊥= 4 ；
∵2*i=18>12       2*i+1=19>12    ∴其无左、右孩子。