算法大全1

一、数论算法

1．求两数的最大公约数

function  gcd(a,b:integer):integer;
begin
  if b=0 then gcd:=a
    else gcd:=gcd (b,a mod b);
end ;

2．求两数的最小公倍数

function  lcm(a,b:integer):integer;
begin
  if a<b then swap(a,b);
  lcm:=a;
  while lcm mod b>0 do inc(lcm,a);
end;

3．素数的求法

A.小范围内判断一个数是否为质数：
function prime (n: integer): Boolean;
  var I: integer;
  begin
    for I:=2 to trunc(sqrt(n)) do
      if n mod I=0 then begin
 prime:=false; exit;
end;
    prime:=true;
  end;

B.判断longint范围内的数是否为素数（包含求50000以内的素数表）：
  procedure getprime;
    var
      i,j:longint;
      p:array[1..50000] of boolean;
     begin
       fillchar(p,sizeof(p),true);
p[1]:=false;
i:=2;
while i<50000 do begin
  if p[i] then begin
    j:=i*2;
    while j<50000 do begin
      p[j]:=false;
      inc(j,i);
    end;
   end;
   inc(i);
 end;
 l:=0;
 for i:=1 to 50000 do
   if p[i] then begin
     inc(l);pr[l]:=i;
  end;
end;{getprime}
 
   function prime(x:longint):integer;
     var i:integer;
     begin
       prime:=false;
for i:=1 to l do
  if pr[i]>=x then break
    else if x mod pr[i]=0 then exit;
prime:=true;
     end;{prime}

二、图论算法

1．最小生成树

A.Prim算法：
   procedure prim(v0:integer);
     var
       lowcost,closest:array[1..maxn] of integer;
i,j,k,min:integer;
     begin
       for i:=1 to n do begin
  lowcost[i]:=cost[v0,i];
  closest[i]:=v0;
 end;
for i:=1 to n-1 do begin
  {寻找离生成树最近的未加入顶点k}
  min:=maxlongint;
  for j:=1 to n do
    if (lowcost[j]<min) and (lowcost[j]<>0) then begin
      min:=lowcost[j];
      k:=j;
    end;
  lowcost[k]:=0; {将顶点k加入生成树}
     {生成树中增加一条新的边k到closest[k]}
  {修正各点的lowcost和closest值}
  for j:=1 to n do
    if  cost[k,j]<lwocost[j] then begin
      lowcost[j]:=cost[k,j];
      closest[j]:=k;
    end;
  end;
end;{prim}

B.Kruskal算法：(贪心)

按权值递增顺序删去图中的边，若不形成回路则将此边加入最小生成树。
function find(v:integer):integer; {返回顶点v所在的集合}
var i:integer;
begin
  i:=1;
  while (i<=n) and (not v in vset[i]) do inc(i);
  if i<=n then find:=i else find:=0;
end;

procedure kruskal;
var
  tot,i,j:integer;
begin
  for i:=1 to n do vset[i]:=[i];{初始化定义n个集合，第I个集合包含一个元素I}
p:=n-1; q:=1; tot:=0; {p为尚待加入的边数，q为边集指针}
sort;
{对所有边按权值递增排序，存于e[I]中，e[I].v1与e[I].v2为边I所连接的两个顶点的序号，e[I].len为第I条边的长度}
  while p>0 do begin
    i:=find(e[q].v1);j:=find(e[q].v2);
    if i<>j then begin
      inc(tot,e[q].len);
      vset[i]:=vset[i]+vset[j];vset[j]:=[];
      dec(p);
    end;
    inc(q);
  end;
  writeln(tot);
end;

2.最短路径

A.标号法求解单源点最短路径：
  var
    a:array[1..maxn,1..maxn] of integer;
    b:array[1..maxn] of integer; {b[i]指顶点i到源点的最短路径}
    mark:array[1..maxn] of boolean;

  procedure bhf;
    var
      best,best_j:integer;
    begin
      fillchar(mark,sizeof(mark),false);
   mark[1]:=true; b[1]:=0;{1为源点}
   repeat
     best:=0;
       for i:=1 to n do
        If mark[i] then {对每一个已计算出最短路径的点}
         for j:=1 to n do
           if (not mark[j]) and (a[i,j]>0) then
          if (best=0) or (b[i]+a[i,j]<best) then begin
            best:=b[i]+a[i,j];  best_j:=j;
         end;
      if best>0 then begin
        b[best_j]:=best；mark[best_j]:=true;
      end;
    until best=0;
    end;{bhf}

 B.Floyed算法求解所有顶点对之间的最短路径：
    procedure floyed;
      begin
for I:=1 to n do
for j:=1 to n do
if a[I,j]>0 then p[I,j]:=I else p[I,j]:=0; {p[I,j]表示I到j的最短路径上j的前驱结点}
 for k:=1 to n do {枚举中间结点}
   for i:=1 to n do
     for j:=1 to n do
       if a[i,k]+a[j,k]<a[i,j] then begin
      a[i,j]:=a[i,k]+a[k,j];
            p[I,j]:=p[k,j];
    end;
     end;

C. Dijkstra 算法：

var
    a:array[1..maxn,1..maxn] of integer;
    b,pre:array[1..maxn] of integer; {pre[i]指最短路径上I的前驱结点}
    mark:array[1..maxn] of boolean;
procedure dijkstra(v0:integer);
begin
  fillchar(mark,sizeof(mark),false);
  for i:=1 to n do begin
    d[i]:=a[v0,i];
    if d[i]<>0 then pre[i]:=v0 else pre[i]:=0;
  end;
  mark[v0]:=true;
  repeat   {每循环一次加入一个离1集合最近的结点并调整其他结点的参数}
    min:=maxint; u:=0; {u记录离1集合最近的结点}
    for i:=1 to n do
      if (not mark[i]) and (d[i]<min) then begin
        u:=i; min:=d[i];
    end;
    if u<>0 then begin
      mark[u]:=true;
      for i:=1 to n do
       if (not mark[i]) and (a[u,i]+d[u]<d[i]) then begin
         d[i]:=a[u,i]+d[u];
         pre[i]:=u;
      end;
    end;
  until u=0;
end;

3.计算图的传递闭包

Procedure Longlink;
Var
T:array[1..maxn,1..maxn] of boolean;
Begin
Fillchar(t,sizeof(t),false);
For k:=1 to n do
For I:=1 to n do
  For j:=1 to n do T[I,j]:=t[I,j] or (t[I,k] and t[k,j]);
End;

4．无向图的连通分量

A.深度优先
procedure dfs ( now,color: integer);
   begin
     for i:=1 to n do
      if a[now,i] and c[i]=0 then begin {对结点I染色}
        c[i]:=color;
        dfs(I,color);
      end;
end;

B 宽度优先（种子染色法）

5．关键路径

几个定义： 顶点1为源点，n为汇点。
a. 顶点事件最早发生时间Ve[j], Ve [j] = max{ Ve [j] + w[I,j] },其中Ve (1) = 0;
b. 顶点事件最晚发生时间 Vl[j], Vl [j] = min{ Vl[j] – w[I,j] },其中 Vl(n) = Ve(n);
c. 边活动最早开始时间 Ee[I], 若边I由<j,k>表示，则Ee[I] = Ve[j];
d. 边活动最晚开始时间 El[I], 若边I由<j,k>表示，则El[I] = Vl[k] – w[j,k];
若 Ee[j] = El[j] ，则活动j为关键活动，由关键活动组成的路径为关键路径。
求解方法：
a. 从源点起topsort,判断是否有回路并计算Ve;
b. 从汇点起topsort,求Vl;
c. 算Ee 和 El;

6．拓扑排序

找入度为0的点，删去与其相连的所有边，不断重复这一过程。
例  寻找一数列，其中任意连续p项之和为正，任意q 项之和为负，若不存在则输出NO.

7.回路问题

Euler回路(DFS)
定义：经过图的每条边仅一次的回路。（充要条件：图连同且无奇点）

Hamilton回路
定义：经过图的每个顶点仅一次的回路。

一笔画
充要条件：图连通且奇点个数为0个或2个。

9．判断图中是否有负权回路 Bellman-ford 算法

x[I],y[I],t[I]分别表示第I条边的起点，终点和权。共n个结点和m条边。
 procedure bellman-ford
  begin
for I:=0 to n-1 do d[I]:=+infinitive;
d[0]:=0;
for I:=1 to n-1 do
for j:=1 to m do {枚举每一条边}
  if d[x[j]]+t[j]<d[y[j]] then d[y[j]]:=d[x[j]]+t[j];
for I:=1 to m do
if d[x[j]]+t[j]<d[y[j]] then return false else return true;
  end;

10．第n最短路径问题

*第二最短路径：每举最短路径上的每条边，每次删除一条，然后求新图的最短路径，取这些路径中最短的一条即为第二最短路径。
*同理，第n最短路径可在求解第n-1最短路径的基础上求解。

[color=#0000FF]三、背包问题[/color]

*部分背包问题可有贪心法求解：计算Pi/Wi
 数据结构：
   w[i]:第i个背包的重量；
   p[i]:第i个背包的价值；

1．0-1背包： 每个背包只能使用一次或有限次(可转化为一次)：

A.求最多可放入的重量。
NOIP2001 装箱问题
  有一个箱子容量为v(正整数，o≤v≤20000)，同时有n个物品(o≤n≤30)，每个物品有一个体积 (正整数)。要求从 n 个物品中，任取若千个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。
l 搜索方法
  procedure search(k,v:integer); {搜索第k个物品，剩余空间为v}
  var i,j:integer;
  begin
    if v<best then best:=v;
    if v-(s[n]-s[k-1])>=best then exit; {s[n]为前n个物品的重量和}
    if k<=n then begin
      if v>w[k] then search(k+1,v-w[k]);
      search(k+1,v);
    end;
  end;

l DP
F[I,j]为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志，为布尔型。
实现:将最优化问题转化为判定性问题
f [I, j] = f [ i-1, j-w[i] ] (w[I]<=j<=v)       边界：f[0,0]:=true.
For I:=1 to n do
For j:=w[I] to v do  F[I,j]:=f[I-1,j-w[I]];
优化：当前状态只与前一阶段状态有关，可降至一维。
F[0]:=true;
For I:=1 to n do begin
F1:=f;
For j:=w[I] to v do
If f[j-w[I]] then f1[j]:=true;
F:=f1;
End;

B.求可以放入的最大价值。
F[I,j] 为容量为I时取前j个背包所能获得的最大价值。
F [i,j] = max { f [ i – w [ j ], j-1] + p [ j ],  f[ i,j-1] }

C.求恰好装满的情况数。
DP:
Procedure update;
var j,k:integer;
begin
  c:=a;
  for j:=0 to n do
    if a[j]>0 then
        if j+now<=n then inc(c[j+now],a[j]);
  a:=c;
end;

2．可重复背包

A求最多可放入的重量。
F[I,j]为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志，为布尔型。
状态转移方程为
   f[I,j] = f [ I-1, j – w[I]*k ] (k=1.. j div w[I])

B.求可以放入的最大价值。
USACO 1.2  Score Inflation
进行一次竞赛，总时间T固定，有若干种可选择的题目，每种题目可选入的数量不限，每种题目有一个ti（解答此题所需的时间）和一个si（解答此题所得的分数），现要选择若干题目，使解这些题的总时间在T以内的前提下，所得的总分最大，求最大的得分。
*易想到：
     f[i,j] = max { f [i- k*w[j], j-1] + k*p[j] }  (0<=k<= i div w[j])
其中f[i,j]表示容量为i时取前j种背包所能达到的最大值。
*实现：
Begin
FillChar(f,SizeOf(f),0);
For i:=1 To M Do
For j:=1 To N Do
  If i-problem[j].time>=0 Then
  Begin
    t:=problem[j].point+f[i-problem[j].time];
    If t>f[i] Then f[i]:=t;
  End;
Writeln(f[M]);
End.

C.求恰好装满的情况数。
Ahoi2001 Problem2
求自然数n本质不同的质数和的表达式的数目。
思路一，生成每个质数的系数的排列，在一一测试，这是通法。
procedure try(dep:integer);
  var i,j:integer;
  begin
    cal; {此过程计算当前系数的计算结果，now为结果}
    if now>n then exit; {剪枝}
    if dep=l+1 then begin {生成所有系数}
      cal;
      if now=n then inc(tot);
      exit;
    end;
    for i:=0 to n div pr[dep]  do  begin
      xs[dep]:=i;
      try(dep+1);
      xs[dep]:=0;
    end;
  end;

思路二，递归搜索效率较高
procedure try(dep,rest:integer);
  var i,j,x:integer;
  begin
    if (rest<=0) or (dep=l+1) then begin
      if rest=0 then inc(tot);
      exit;
    end;
    for i:=0 to rest div pr[dep] do
      try(dep+1,rest-pr[dep]*i);
  end;
{main: try(1,n); }

思路三：可使用动态规划求解
USACO1.2 money system
V个物品，背包容量为n，求放法总数。
转移方程：

Procedure update;
var j,k:integer;
begin
  c:=a;
  for j:=0 to n do
    if a[j]>0 then
      for k:=1 to n div now do
        if j+now*k<=n then inc(c[j+now*k],a[j]);
  a:=c;
end;
{main}
begin
read(now); {读入第一个物品的重量}
i:=0;   {a[i]为背包容量为i时的放法总数}
while i<=n do begin
a[i]:=1; inc(i,now); end;  {定义第一个物品重的整数倍的重量a值为1，作为初值}
for i:=2 to v do
begin
  read(now);
  update; {动态更新}
end;
writeln(a[n]);